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発明の名称 直線描画装置
発行国 日本国特許庁(JP)
公報種別 公開特許公報(A)
公開番号 特開平7−29022
公開日 平成7年(1995)1月31日
出願番号 特願平5−153843
出願日 平成5年(1993)6月24日
代理人 【弁理士】
【氏名又は名称】中島 司朗
発明者 高田 周一
要約 目的
描こうとする直線が格子点間の中点を通る場合に、異なった側の格子点を描画するソフトウエアに対しても、互換性のある直線描画装置を提供する。

構成
終点入力部10、始点入力部11、描画点座標保持部12、増加定数保持部13、誤差変数保持部14、第1加算定数保持部15、第2加算定数保持部16、直線傾き定数保持部17、初期化部18、終了制御部19、描画部20、座標変数制御部21、誤差変数制御部22、指定定数格納部23、指定定数保持部24、指定定数制御部25を備え、描画しようとする直線が、格子点間の中点を通ると誤差変数制御部22が判定すると、座標変数制御部21は指定定数保持部24の保持する指定定数の値に応じて、表示する格子点を決定する。
特許請求の範囲
【請求項1】 X−Y平面上においてX,Yが整数で表される格子点を表示させることにより、直線を描画する直線描画装置であって、始点座標(Xs , s )を入力する始点入力手段と、終点座標(Xe ,Ye )を入力する終点入力手段と、前記始点座標及び前記終点座標を結ぶ直線のX座標あるいはY座標のうち一方の座標が整数であり、かつ他方の座標が整数に1/2を加算した数である位置を、前記他方の座標軸方向において、両側から挟む2つの格子点を指定する2種の指定定数を択一的に入力可能な指定定数入力手段と、前記指定定数入力手段より入力された指定定数をそれまでに保持されていた指定定数に代えて保持する指定定数保持手段と、前記始点座標(Xs ,Ys )及び前記終点座標(Xe ,Ye )を用いて、ブレセンハムの直線描画アルゴリズムにおける定数を計算する定数計算手段と、始点座標及び終点座標を結ぶ直線のX座標或いはY座標の一方の座標が整数であり、他方の座標が整数でない位置における他方の座標軸上の最短の整数値までの距離に関連した誤差変数を、前記定数保持手段の保持する定数と、前記位置に対して直線描画方向と反対方向へ1つ遡った位置における誤差変数とを用いて計算する変数計算手段と、前記変数計算手段により計算された誤差変数を保持する変数保持手段と、描こうとする直線が前記他方の座標の座標軸方向に並んだ格子点間の中点を通ることを前記変数保持手段の保持する変数が示すとき、前記指定定数の指定する格子点を表示させる格子点表示手段と、を備えることを特徴とする直線描画装置。
【請求項2】 前記指定定数は、描画しようとする直線の傾きが正であるか負であるか及び正負各場合において、45度を越えるかどうかによって、8通りの組み合わせを有し、各1通りの組み合わせにつき1ビットのデータが割りあててあることを特徴とする請求項1記載の直線描画装置。
【請求項3】 前記指定定数入力手段は、前記変数保持手段の保持する誤差変数が、描画しようとする直線のX座標あるいはY座標のうち所定の座標が整数でありかつ他方の座標が整数に1/2を加算した数であることを示す度毎に、入力すべき指定定数の値を択一的に選択可能な他の値に変更させる指定定数切替構成を含むことを特徴とする請求項1又は請求項1または請求項2記載の直線描画装置。
発明の詳細な説明
【0001】
【産業上の利用分野】本発明はグラフィックス表示に関し、特に直線を描画する際にその直線を構成する点として格子点(X座標、Y座標とも整数である点)を表示させることにより直線を描画する装置に関する。
【0002】
【従来の技術】従来、直線を描画するアルゴリズムとして、ブレセンハム(Bresenham) の直線描画アルゴリズムが知られている(「コンピュータグラフィックス」、ジェー・ディー・フォーリー他著、今宮淳美訳、日本コンピュータ協会出版(1984年)、pp.443−446に記載)。
【0003】このブレセンハムの直線描画アルゴリズムによれば、2次元のX−Y平面上において、描画しようとする直線の始点座標が(Xs ,Ys )、終点座標が(Xe,Ye )であるとき、次のようにして、始点に相当する格子点表示後、第n番目に表示する格子点(Xn ,Yn )を決定できる。ΔX=Xe −Xs ,ΔY=Ye −Ys で与えられる定数ΔX,ΔYに対して、例えば、│ΔX│>│ΔY│(条件A)であれば、描こうとする直線のX座標の変化量がY座標の変化量に比べて大きくなる。このブレセンハムの直線描画アルゴリズムにおいては、一方の座標値の変化が1の場合、他方の座標値の変化は0若しくは1になる。そこで、│ΔX│>│ΔY│の場合には、X座標を1ずつ変化させ、Y座標を0若しくは1変化させれば、実際の直線に近い直線を描画することができる。このため、Xn+1 =Xn +1の関係がある。このとき、X=Xnの場合に、描画しようとする直線が本来とるべきYの値と実際に表示する格子点のY座標Yi との差を誤差項en とすると、X=Xn に対する誤差項en とX=Xn+1 に対する誤差項en+1 との関係は、en+1 =en +ΔY/ΔX(式A)
で与えられる。ここで、誤差項en は、描画すべき直線のY座標と直前に描画した格子点のY座標の差を示し、X=Xn+1 において、en+1 ≧0.5 ならば、直前に描画した格子点のY座標と描画しようとする直線のY座標の差が0.5 以上であることを意味し、この場合、描画しようとする直線のY座標はY+1に近づき、表示すべき格子点のY座標Yn+1 はYn よりもYn +1となる。ここで、格子点のY座標がYn +1となると、直前に表示した格子点のY座標と描画しようとする直線のY座標との差はY座標が1増加したことから、en+1 −1で与えられる。同様に、en+1 <0.5 ならば、表示すべき格子点のY座標Yn+1 はYn +1よりもYn に近いことになる。すなわち、en+1 ≧0.5 ならば、Yn+1 =Yn +1,en+1 =en+1 −1(式B)、en+1 <0.5 ならば、Yn+1 =Yn (式C)
となる。これは、en+1 −0.5 の正負により表示する格子点を決定することを意味し、ΔX>0(条件B)であれば、2(en+1 −0.5 )ΔXの正負により表示する格子点を決定するのと同じである。そこで、誤差変数En+1 として、En+1=2(en+1 −0.5 )ΔXとすると、(式A)により、En+1 =En +2ΔY(ただし、E0 =−ΔX)(式D)、En+1 ≧0ならば、(式B)により、Yn+1 =Yn +1,En =En −2ΔX(式E)、En+1 <0ならば、(式C)により、Yn+1 =Yn となる。
【0004】これは、│ΔX│>│ΔY│(条件A)であり、かつΔX>0(条件B)の場合に得られる式であり、同様にして、ΔX,ΔYの正負、│ΔX│と│ΔY│の大小関係によって、8通りの式が得られる。これらの式の中から、始点座標及び終点座標に応じて式を選択し、表示する格子点を決定する。このブレセンハムの直線描画アルゴリズムを用いた従来の直線描画装置の一構成例を図8に示す。なお、表示する直線の始点座標を(Xs ,Ys )、終点座標を(Xe ,Ye )とし、ΔX>0,ΔY>0,ΔX>ΔYとする。
【0005】図8において、70は終点入力部、71は始点入力部、72は描画点座標保持部、73は増加定数保持部、74は誤差変数保持部、75は第1加算定数保持部、76は第2加算定数保持部、77は直線傾き定数保持部、78は初期化部、79は終了制御部、80は描画部、81は座標変数制御部、82は誤差変数制御部である。
【0006】終点入力部70は、入力端子であり、表示しようとする直線の終点の座標を入力されると、終点のX座標を終了制御部79に、終点の座標を初期化部78に通知する。始点入力部71は、入力端子であり、表示しようとする直線の始点の座標を入力されると、始点の座標を描画点座標保持部72及び初期化部78に通知する。描画点座標保持部72は、例えば、レジスタを備え、表示する格子点の座標(X,Y)を保持する。増加定数保持部73は、例えば、レジスタを備え、表示方向に関する情報を保持する。ここで、描画方向に関する情報は、X軸方向についてはXI,Y軸方向についてはYIの値により示され、それぞれ、ΔX>0,ΔY>0 の場合1の値をとる。誤差変数保持部74は、例えば、レジスタを備え、誤差変数En の値を保持する。第1加算定数保持部75は、例えば、レジスタを備え、加算定数C(=2ΔY)の値を保持する。ここで、加算定数Cは式Dにおいて与えられる数であり、誤差変数En に加算する定数である。第2加算定数保持部76は、例えば、レジスタを備え、加算変数D(=2ΔY−2ΔX)の値を保持する。ここで、加算定数Dは式Dと式Eにより与えられる数であり、誤差変数En に加算する定数である。直線傾き定数保持部77は、例えば、比較器とレジスタを備え、ΔXとΔYの大小関係を示す定数である直線傾き定数XYを保持する。ここで、比較器は、│ΔX│と│ΔY│の比較を行い、│ΔX│>│ΔY│であるため、直線傾き定数XYとして0を、レジスタに出力し、レジスタは出力された値(=0)を保持する。初期化部78は、例えば、加算器及び減算器が用いられ、始点座標(Xs ,Ys )と終点座標(Xe ,Ye )からブレセンハムの直線描画アルゴリズムにおける定数及び変数の初期値を計算する。終了制御部79は、例えば、レジスタと比較器とを備え、レジスタは前記終点入力部70から入力された終点のX座標を表示の終了を判定する際の基準となる終了基準値Lとして保持し、比較器は、前記レジスタの保持する終了基準値Lと描画点座標保持部72の保持するX座標とを比較し、直線描画を終了させるか否かを判定する。
【0007】描画部80は、例えば、描画プロセッサが用いられ、描画点座標保持部72の保持する座標(X,Y)の格子点を輝かす等により、表示する。座標変数制御部81は、誤差変数En の値が負であることを示すEフラグを入力されると、増加定数保持部73に増加定数(XI,YI)として(1,0)を、それ以外の場合には、(1,1)を保持させ、格子点を表示する度毎に増加定数(XI,YI)を描画点座標保持部72の保持する(X,Y)に加算する。誤差変数制御部82は、誤差変数保持部74の保持する誤差変数En の値が負であれば、Eフラグを座標変数制御部81に通知し、同時に第1加算定数保持部75から加算変数Cを読み出し、加算変数Cを誤差変数保持部74の保持する誤差変数En に加算した後、加算後の誤差変数En+1 を誤差変数保持部74に保持させる。誤差変数保持部74の保持する誤差変数En の値が正または0であれば、第2加算定数保持部76から加算変数Dを読み出し、誤差変数保持部74の保持する誤差変数En に加算した後、加算後の誤差変数En+1 を誤差変数保持部74に保持させる。
【0008】図9は、図8に示す直線描画装置の動作を示すフローチャートである。終点入力部70、始点入力部71が、それぞれ、始点座標(Xs ,Ys )、終点座標(Xe ,Ye )を入力されると(ステップ601)、終点入力部70は終点のX座標を終了制御部79に通知し、終了制御部79は終了基準値LとしてXeを保持する(ステップ602)。また始点入力部71は、描画点座標保持部72に始点座標(Xs ,Ys )を通知し、描画点座標保持部72は始点座標(Xs,Ys )を保持し、描画部80は描画点座標保持部72の保持する始点座標(Xs ,Ys )の格子点を表示する(ステップ603)。これと同時に、終点入力部70及び始点入力部71は、初期化部78に終点座標及び始点座標を通知し、初期化部78は、ブレセンハムのアルゴリズムの定数及び変数を計算し、増加定数保持部73,誤差変数保持部74,第1加算定数保持部75,第2加算定数保持部76,直線傾き定数保持部77に出力し、保持させる(ステップ604,605)。誤差変数制御部82は、誤差変数En が負であるか否かを判定し、負であればEフラグを座標変数制御部81に通知し、誤差変数En に所定の加算変数Cを加算する(ステップ612)。負でなければ誤差変数En に加算変数Dを加算する(ステップ607)。座標変数制御部81は、Eフラグを入力されると、描画点座標保持部72の保持するXに1を加算し、Eフラグを入力されなければ、描画点座標保持部72の保持するX,Yにそれぞれ1を加算する。続いて、描画部80は描画点座標保持部72の保持する座標(X,Y)を表示させる(ステップ610)。
【0009】以上の動作を描画点座標保持部72の保持するX座標がLになるまで行う。図10は、始点座標(0,0)、終点座標(8,4)の場合に描画しようとする直線及び動作終了後に表示された格子点を示す図面である。図中、描画しようとする直線は直線99であり、その構成点として実際に表示された格子点は、格子点90〜98である。
【0010】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、前記従来の直線描画装置において、誤差変数保持部74の保持する誤差変数En は、始点と終点とを結ぶ直線と格子点間の中点との距離が0であるか否かを判定するための変数であり、誤差変数が0であると、理想直線は格子点間の中点を通ることになる。この場合、どちらの格子点を表示するかは、En =0の場合に増加定数保持部73の保持する増加定数(XI,YI)の値に依存するため、En =0の際に、増加定数保持部73の保持する増加定数が一定であると、上なら上、あるいは右なら右といったように、直線からみていずれか一方の側のみの格子点を表示することになる。このため、従来の直線描画装置では、システムのソフトウエア手法が、直線描画装置に規定された格子点と異なる側の格子点を表示させるよう設定されている場合には、格子点を表示できず、システムのソフトウエアに互換性がないという問題点を有していた。
【0011】本発明は上記問題点に鑑み、描こうとする直線が格子点間の中点を通る場合に、異なった側の格子点を表示させるソフトウエアに対しても、互換性のある直線描画装置を提供することを目的とする。
【0012】
【課題を解決するための手段】上記問題点を解決するために、請求項1の発明は、X−Y平面上においてX,Yが整数で表される格子点を表示させることにより、直線を描画する直線描画装置であって、始点座標(Xs , s )を入力する始点入力手段と、終点座標(Xe ,Ye )を入力する終点入力手段と、前記始点座標及び前記終点座標を結ぶ直線のX座標あるいはY座標のうち一方の座標が整数であり、かつ他方の座標が整数に1/2を加算した数である位置を、前記他方の座標軸方向において、両側から挟む2つの格子点を指定する2種の指定定数を択一的に入力可能な指定定数入力手段と、前記指定定数入力手段より入力された指定定数をそれまでに保持されていた指定定数に代えて保持する指定定数保持手段と、前記始点座標(Xs ,Ys )及び前記終点座標(Xe ,Ye )を用いて、ブレセンハムの直線描画アルゴリズムにおける定数を計算する定数計算手段と、始点座標及び終点座標を結ぶ直線のX座標或いはY座標の一方の座標が整数であり、他方の座標が整数でない位置における他方の座標軸上の最短の整数値までの距離に関連した誤差変数を、前記定数保持手段の保持する定数と、前記位置に対して直線描画方向と反対方向へ1つ遡った位置における誤差変数とを用いて計算する変数計算手段と、前記変数計算手段により計算された誤差変数を保持する変数保持手段と、描こうとする直線が前記他方の座標の座標軸方向に並んだ格子点間の中点を通ることを前記変数保持手段の保持する変数が示すとき、前記指定定数の指定する格子点を表示させる格子点表示手段とを備えることを特徴とするを備えることを特徴とする。
【0013】請求項2の発明は、前記指定定数は、描画しようとする直線の傾きが正であるか負であるか及び正負各場合において、45度を越えるかどうかによって、8通りの組み合わせを有し、各1通りの組み合わせにつき1ビットのデータが割りあててあることを特徴とする。請求項3の発明は、前記指定定数入力手段は、前記変数保持手段の保持する誤差変数が、描画しようとする直線のX座標あるいはY座標のうち所定の座標が整数でありかつ他方の座標が整数に1/2を加算した数であることを示す度毎に、入力すべき指定定数の値を択一的に選択可能な他の値に変更させる指定定数切替構成を含むことを特徴とする。
【0014】
【作用】上記構成によれば、X−Y平面上において、X,Yが整数である格子点を表示させることにより、直線を描画する直線描画装置において、指定定数入力手段が指定定数を、始点入力手段が始点座標を、終点入力手段が終点座標を入力すると、定数計算手段が始点座標及び終点座標を用いて、ブレセンハムの直線描画アルゴリズムにおける定数を計算し、変数計算手段は前記定数を用いて、誤差変数を計算し、計算の結果、描画しようとする直線が格子点間の中点を通過する場合、前記指定定数入力手段により入力された指定定数の指定する格子点を表示させることができる。
【0015】また、前記指定定数を指定するデータとして、各描画方向毎に、1ビットのデータを割り当てることにより、描画しようとする直線が格子点間の中点を通過する場合に表示する点を1ビットのデータを用いて指定することができる。また、指定定数入力手段の入力する指定変数を変化させることにより、より多様な位置の格子点を表示させることができる。
【0016】
【実施例】以下、本発明の一実施例を図1から図7を用いて説明する。図1は本発明の直線描画装置の一構成例を示すブロック図である。本図において、10は終点入力部、11は始点入力部、12は描画点座標保持部、13は増加定数保持部、14は誤差変数保持部、15は第1加算定数保持部、16は第2加算定数保持部、17は直線傾き定数保持部、18は初期化部、19は終了制御部、20は描画部、21は座標変数制御部、22は誤差変数制御部、23は指定定数格納部、24は指定定数保持部、25は指定定数制御部である。
【0017】上記各部のうち、10〜21に示すものは、図8において70〜81に示す同一名称の構成要素と同一のものであるため、その説明は省略する。次に、本実施例固有の機器、部品等の構成要素について説明する。指定定数保持部24は、例えば、レジスタを備え、描画しようとする直線が所定の方向に並んだ格子点間の中点を通るときに表示する格子点を指定する指定定数SWの値を保持する。誤差変数制御部22は、増加定数保持部13から増加定数(XI,YI)を、直線傾き定数保持部17から直線傾き定数XYをそれぞれ読み出し、対応する指定定数SWの値を指定定数保持部24から読み出す。誤差変数保持部14の保持する誤差変数En と指定定数保持部24の保持する指定定数SWの差En −SWの値が負であれば、Eフラグを座標変数制御部21に通知し、第1加算定数保持部15から加算変数Cを読み出す。En −SWの値が正または0であれば第2加算定数保持部16から加算変数Dを読み出し、誤差変数保持部14の保持する誤差変数En に加算した後、加算後の誤差変数En を誤差変数保持部14に保持させる。指定定数格納部23は、例えば、レジスタを備え、表示方向毎に規定された指定定数SWの値のテーブルを格納する。テーブルには、8分割した描画方向、それぞれに対応する指定定数の値が規定されている。指定定数制御部25は、描画方向に応じて、指定定数格納部23から指定定数を規定したテーブルを読み出し、読み出したテーブルを指定定数保持部24に保持させる。
【0018】図2は、直線描画装置起動時における動作を示すフローチャートである。ソフトウエアは、起動時に使用するアプリケーションを判別し(ステップ301)、それに応じた値を指定定数格納部23に書き込む。指定定数制御部25は、描画方向に応じて、指定定数格納部23から指定定数を規定したテーブルを読み出し(ステップ302)、指定定数保持部24に保持させる(ステップ303)。図4は、読み出したテーブルの指定定数SWの設定値の一例を示す図面である。図4(a)は、指定定数格納部23の格納するテーブルの一例を示し、図4(b)は、描画しようとする直線の描画方向を示す。図4(a)の3A〜3Hに示すSW1〜SW8は、図4(b)に示すSW1〜SW8の領域に対応し、SW1〜SW8の領域は、描画しようとする直線の描画方向を示す。図4(b)において、描画方向は、原点を始点とし、終点の存在する領域により示される。また、図4(a)の31〜38に示す指定定数SWの値は、描画方向毎に設定された指定定数SWの値であり、これらの値はそれぞれ1描画方向につき1ビットを割り当てられた8ビットのデータ“10001110”として入力され、格納される。
【0019】図3は、前記直線描画装置の動作を示すフローチャートである。以下、始点の座標を(0,0)、終点の座標を(8,4)とする直線を描画する場合の動作について説明する。終点入力部10が終点座標(8,4)を、始点入力部11が始点座標(0,0)を入力されると(ステップ200)、終点入力部10は終点座標のX座標を終了制御部19に出力する。終了制御部19は、終了基準値Lとして、終点座標のX座標を保持する(ステップ201)。また、始点入力部11は描画点座標保持部12に始点座標(0,0)を出力し、描画点座標保持部12は始点座標(0,0)を保持する。描画部20は描画点座標保持部12の保持する始点座標(0,0)の格子点を表示する(ステップ202)。終点入力部10、始点入力部11は、それぞれ、初期化部18に終点座標(8,4)、始点座標(0,0)を出力し、初期化部18はブレセンハムのアルゴリズムの定数及び変数を計算する。計算結果は、ΔX=8,ΔY=4,E1 =0,C=8,D=−8,XY=0,XI=1,YI=1となる(ステップ203,204)。指定定数制御部25は、描画方向毎に規定された指定定数を指定定数格納部23から読み出し、指定定数保持部24に保持させる。誤差変数制御部22は、増加定数保持部13の保持する増加定数(XI,YI)、直線傾き定数保持部17の保持する直線傾き定数XYを受信すると、(XI,YI,XY)=(1,1,0)であるため、図4(a)より指定定数保持部24から対応する指定定数SWの値を読み出す(ステップ205)。誤差変数制御部22は、誤差変数保持部14の保持する誤差変数E1 (=0)、指定定数保持部24の保持する指定定数SW(=1)より、En −SWを計算し、この値が−1(<0)であるため(ステップ206)、誤差変数E1(=0)にC(=8)を加算し、誤差変数保持部14にE2 (=8)を保持させる(ステップ212)。また、誤差変数制御部22はEフラグを座標変数制御部21に通知する。座標変数制御部21はEフラグを入力されると、描画点座標保持部12の保持するX座標に1加算し(ステップ209)、描画部20は座標(1,0)の格子点を表示させる(ステップ210)。
【0020】ここで、X(=1)はL(=8)より小さいため、描画は継続される(ステップ206)。誤差変数制御部22は、誤差変数保持部14の保持する誤差変数E2 (=8)、指定定数保持部24の保持する指定定数SW(=1)より、E2 −SWを計算し、この値が7(≧0)であるため(ステップ206)、誤差変数E2 (=8)にD(=−8)を加算し、誤差変数保持部14にE3 (=0)を保持させる(ステップ207)。座標変数制御部21は、Eフラグを受信しないので、表示点のX座標及びY座標に1を加算し、描画点座標保持部12に(2,1)を保持させ、描画部20は(2,1)を表示させる。
【0021】同様の動作を描画点座標保持部12の保持するX座標がX=8になるまで、繰り返す。X=8になると、終了制御部19は描画部20の表示を終了させる。図5は、描画しようとする直線及び動作終了後表示された格子点を示す。図中、直線49は描画しようとする直線であり、格子点40〜48は、実際に表示された格子点を示す。
【0022】また、前記誤差変数制御部22がさらに比較器及び1ビットのカウンタを備え、比較器は、誤差変数En が0であるか否かを判定し、0であれば1ビットのカウンタに、誤差変数En が0であることを示すゼロ信号を送信し、1ビットのカウンタは、前記比較器から前記ゼロ信号を受信すると、保持する指定定数の値を0と1の間で反転させるものとすれば、誤差変数En が0になる度毎に、描画しようとする直線に対して、それまでEn が0になったときに表示していた格子点の位置する側とは反対側に格子点を表示させることができる。
【0023】図6は指定定数SWの値を誤差変数En が0になる度毎に反転させる場合の動作を示すフローチャートである。前記直線描画装置と同様に、ステップ200〜ステップ205を行った後、誤差変数制御部22は、誤差変数En が0であるか否かを判定し(ステップ50)、En が0であれば、指定定数SWの値を反転させる(ステップ51〜ステップ53)。
【0024】図7は、始点座標(0,0),終点座標(8,4)の場合に、描画しようとする直線及び図6に示す動作終了後、表示された格子点を示す。図中、直線69は描画しようとする直線であり、格子点60〜68は実際に表示された格子点を示す。なお、描画しようとする直線の描画方向が異なる場合には、それぞれの場合に応じたブレセンハムの直線描画アルゴリズムを使用することにより、上記の場合以外においても同様に、直線を描画することができる。
【0025】
【発明の効果】以上のように本発明によれば、描こうとする直線が格子点間の中点を通る場合、表示する格子点を指定できるため、ソフトウエア手法の異なるシステムであっても、そのソフトウエア手法に応じた直線を描画することができ、互換性を持たせることができる。さらに、増加定数及び直線傾き定数に応じて8種類の指定定数の値を個別に指定できる構成とすれば、互換性の範囲をさらに広げることができる。
【0026】また、誤差変数が0になる度毎に、表示する格子点の決定方法を変えることにより、描画しようとする直線が格子点間の中点を通る場合であっても、表示する格子点が一方の側に偏らない均整のとれた直線を描画することができる。




 

 


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